Математическое невежество

Математическое невежество

Экстрасенс мадам Феба выступает с лекциями и пользуется большой популярностью. Каждую неделю она обращается к группе из примерно 75 заинтересованных слушателей. Каждую лекцию она начинает с драматической демонстрации своих паранормальных способностей. Свет в зале гаснет, она закрывает глаза, поднимает руки и приглушенным голосом провозглашает: «Я заявляю, что в этой комнате присутствует два человека, родившихся в один день. В один и тот же день и месяц». Затем она просит всех присутствующих написать на бумажке день своего рождения, после чего трое добровольцев производят подсчет, результаты которого объявляются в конце часовой презентации. Примечательно, что мадам Феба делала это заявление сотни раз и практически всегда успешно (процент успеха приближается к 100 %). Недавно репортер одной местной газеты решил проверить действия экстрасенса. Сам он был убежден, что мадам — мошенница. Репортер анонимно посетил несколько сеансов, каждый раз вызываясь добровольцем для подсчета результатов по датам рождения. Поразительно, но доля успешных предсказаний действительно составляла 99 %. Прежде чем публиковать свой материал, он пошел в местный колледж и обратился к профессору, который интересовался паранормальными явлениями. После того как репортер объяснил смысл заявления мадам Фебы и результаты своей проверки, профессор предложил несколько гипотез. Может быть, экстрасенс обладает ретроактивными психокинетическими способностями (глава 12) — будто бы существующей паранормальной способностью изменять прошлое силой мысли. Иными словами, может быть, мадам Феба при помощи своих экстрасенсорных способностей просто поменяла даты рождения двух человек из аудитории. Или, предположил профессор, она могла воспользоваться своими психокинетическими навыками и привлечь на сеанс двух человек с одинаковой датой рождения. Или она дала двум людям в зале мысленную команду написать на листочках одну и ту же дату, хотя бы и неверную. Профессор предложил испытать мадам Фебу в контролируемых условиях: мадам должна была работать с произвольными группами студентов колледжа по 75 человек. Феба с готовностью согласилась на испытание. На всякий случай даты рождения проверялись по университетским записям еще до лекции. Поразительно, но экстрасенс снова почти все угадывала. Почти в каждой группе находились два человека с одинаковой датой рождения. Какая из гипотез верна? Не пропустили ли мы чего-нибудь?

Иногда мы неверно оцениваем вероятности потому, что не знаем математических правил или вообще плохо учили в школе математику. Начнем с популярного примера. Какова вероятность обнаружить в комнате, где находится 23 человека, двух человек с одинаковым днем рождения (день и месяц)? Большинство людей скажет, что вероятность такого события должна быть невелика, может быть, один шанс из двадцати. На самом деле шансы равные — 50/50. Более того, вероятность того, что два человека с одинаковым днем рождения найдутся в группе из 75 человек, составляет 99,9 % — факт, который часто называют парадоксом дней рождения. Другими словами, на сеансах мадам Фебы не происходило ничего необычного. Чтобы понять это, необходимо чуть-чуть разбираться в статистике.

Представьте, что в комнате находится всего один человек. Какова вероятность того, что день рождения этого человека уникален для комнаты, т. е. что в комнате больше нет людей, родившихся в этот же день? Надо признать, что в данном случае вопрос звучит довольно глупо; поскольку в комнате больше никого нет, не может быть и двух одинаковых дней рождения. Вероятность 365/365, или 100 %. Если в комнате два человека, какова вероятность того, что день рождения № 2 совладает с днем рождения № 1? Если № 1 занял один день года, для № 2 остается еще 364 дня, любой из которых будет отличаться от дня рождения № 1. Таким образом, у № 2 есть 364 шанса из 365 иметь другой день рождения, или 364/365.

При переходе к человеку № 3 предположим, что два дня рождения в году уже заняты, так что для него остается 363 возможных даты, и вероятность того, что его день рождения выпадет на один из этих дней, составляет 363/365. Следуя этой логике, каждый раз с добавлением еще одного человека, мы уменьшаем на единицу вероятность попадания его дня рождения на «свободный» день. Далее, по законам статистики для получения общей вероятности того, что дни рождения всех трех человек в комнате выпадают на разные дни, следует перемножить индивидуальные вероятности: 365/365 * 364/365 * 363/365. Результат составит 0,992. Это значит, что в компании из трех человек все дни рождения почти наверняка будут разными. Отметим, что статистический закон перемножения вероятностей дает тот самый результат, который мы могли бы предсказать из соображений здравого смысла. Этому закону можно доверять, он прекрасно работает.

Теперь для группы из 23 человек применим этот закон двадцать три раза:

365/365 * 364/365 * 363/365 * 362/365 * 361/365 * 360/365 * 359/365 * 358/365 * 357/365 * 356/365 * 355/365 * 354/365 * 353/365 * 352/365 * 351/365 * 350/365 * 349/365 * 348/365 * 347/365 * 346/365 * 345/365 * 344/365 * 343/365 и получим 0,493. Если округлить результат, получим, что для комнаты, в которой находится 23 человека, вероятность того, что все дни рождения окажутся разными, составляет около 0,5, т. е. шансы примерно равны (50/50). Но нас интересует обратная ситуация, т. е. вероятность совпадения двух дней рождения. Если вероятность несовпадения составляет 1/2, то, рассуждая логически, вероятность совпадения также составит 1/2. Применив ту же методику для группы из 75 человек, получим: вероятность того, что в комнате окажется два человека с одинаковыми днями рождения, составляет 99,9 %.

И еще один вопрос. Возьмите большой лист бумаги и сложите его пополам. Затем снова пополам. Теперь представьте себе, что вы сложили его пополам 25 раз. (Очевидно, этот эксперимент может быть только мысленным, потому что законы физики не позволяют сложить лист бумаги пополам больше восьми раз. Поэтому представьте, что бумага у вас паранормальная.) Итак, если сложить 25 раз, какой толщины получится пачка? Дополнительная информация: толщина бумаги составляет 0,1 мм. Прежде чем читать дальше, запишите свое предположение. Ответ: после двадцати пяти складываний получилась бы пачка толщиной в милю. Посчитайте сами. Каждый раз, складывая бумагу пополам, вы удваиваете толщину стопки.