Приложение 3 Вывод упрощённых формул Всеобщего взаимодействия

В силу симметрии сил, действующих от давления эфира на тело со стороны другого тела и с противоположной от другого тела стороны, достаточно рассматривать действие этих сил только на четвёртую часть каждой из полусфер тела и полученную силу умножить на 4.

Следовательно, в случае разбивки сферической поверхности тела на 48 частей, нам достаточно посчитать 12 сил, 6 из которых действуют на тело со стороны другого тела, а 6 – с противоположной от другого тела стороны. Поскольку нас будут интересовать лишь проекции этих сил на ось абсцисс, а в каждой из противостоящих друг другу паре сил направления действия противоположны, то нам предстоит определить 6 разниц для этих 12 сил, сложить эти разницы и полученную сумму умножить на 4.

Таким образом, для упрощённого варианта расчет силы, действующей на тело A по гипотезе Всеобщего взаимодействия, будет определяться по формуле (10):

FA = 4 * S(D(FA))

Значения разниц шести пар сил определяются по формулам (11) – (16):

D(Fi) = Fi – Fj,

где j = i + 6

Разобъём четвёртую часть каждой полусферы на 6 частей и найдём координаты средних точек этих частей через значения углов a и b. Разбивку на 6 частей произведём таким образом, чтобы получились 2 значения угла a и 3 значения угла b в каждой из двух четвёртых частях полусфер.

При равномерной разбивке угла P радиан на 2-е части углы a для средних точек примут следующие значения:

a1 = P / 8

a2 = 3 * (P / 8)

А при равномерной разбивке угла P радиан на 3 части углы b для средних точек примут следующие значения:

b1 = P / 12

b2 = 3 * (P / 12)

b3 = 5 * (P / 12)

Зная значения углов для средних точек, можно найти приближённые значения площадей этих 12 частей. Поскольку площади частей, соответствующие друг другу на противоположных полусферах тела, будут равны между собой, то достаточно будет найти значения лишь 6-и площадей. Но и из этих 6-и площадей будут отличаться только те площади, у которых разные значения угла b, так как при равных значениях угла b значение площади не зависит от значения угла a. Таким образом нам достаточно определить значения лишь 3-х площадей.

Приближённые значения этих площадей определим как произведение длин дуг окружностей, проходящих через средние точки, с радиусом, равным радиусу тела, и длинами, ограниченными границами соответствующего участка поверхности тела. Таким образом, значения трёх площадей будут определяться по формулам (17) – (19):

si = lai * lb,

где длины дуг окружностей определяются по формулам (20) – (23):

la1 = (P / 4) * rA * cos(P / 12)

la2 = (P / 4) * rA * cos(3 * P / 12)

la3 = (P / 4) * rA * cos(5 * P / 12)

lb = (P / 6) * rA

Координаты x средних точек в 12 выделенных участках определяются по формулам (24) – (35):

x1 = L + rA * cos(P / 8) * cos(P / 12)

x2 = L + rA * cos(P / 8) * cos(3 * P / 12)

x3 = L + rA * cos(P / 8) * cos(5 * P / 12)

x4 = L + rA * cos(3 * P / 8) * cos(P / 12)

x5 = L + rA * cos(3 * P / 8) * cos(3 * P / 12)

x6 = L + rA * cos(3 * P / 8) * cos(5 * P / 12)

x7 = L – rA * cos(P / 8) * cos(P / 12)

x8 = L – rA * cos(P / 8) * cos(3 * P / 12)

x9 = L – rA * cos(P / 8) * cos(5 * P / 12)

x10 = L – rA * cos(3 * P / 8) * cos(P / 12)

x11 = L – rA * cos(3 * P / 8) * cos(3 * P / 12)

x12 = L – rA * cos(3 * P / 8) * cos(5 * P / 12)

Координаты y средних точек протовоположных участков равны между собой, поэтому их значения достаточно определить только для 6-и точек. Координаты y средних точек в 6-и выделенных участках определяются по формулам (35) – (40):

y1 = rA * sin(P / 8) * cos(P / 12)

y2 = rA * sin (P / 8) * cos(3 * P / 12)

y3 = rA * sin (P / 8) * cos(5 * P / 12)

y4 = rA * sin (3 * P / 8) * cos(P / 12)

y5 = rA * sin (3 * P / 8) * cos(3 * P / 12)

y6 = rA * sin (3 * P / 8) * cos(5 * P / 12)

А координаты z равны между собой не только у средних точек противоположных участков, но и у точек, имеющих равные значения угла b, поэтому значения координаты z достаточно определить только для 3-х точек. Координаты z средних точек в 3-х участках определяются по формулам (46) – (48):

z1 = rA * sin(P / 8)

z2 = rA * sin (3 * P / 8)

z3 = rA * sin (5 * P / 8)

Зная значения всех трёх координат средних точек для всех 12 участков поверхности тела, можно определить расстояния всех 12 точек от начала координат, то есть от центра меньшего тела. Эти расстояния определяются по формулам (49) – (60):

ti = (xi^2 + yi^2 + zi^2)^0.5

Зная значения расстояний средних точек для всех 12 участков поверхности тела, можно определить давление эфира в области этих точек. Они определяются по формулам (61) – (72):

qi = p * Kqp * (1–1 / e^(ti / mB))

Зная значения давлений эфира в области средних точек для всех 12 участков поверхности тела, можно приближённо определить значение сил, действующих перпендикулярно поверхностям участков. Эти значения определяются по формулам (72) – (83):

N1 = q1 * s1

N2 = q2 * s2

N3 = q3 * s3

N4 = q4 * s1

N5 = q5 * s2

N6 = q6 * s3

N7 = q7* s1

N8 = q8 * s2

N9 = q9 * s3

N10 = q10 * s1

N11 = q11 * s2

N12 = q12 * s3

И наконец, зная значения сил, действующих на каждый из 12 участков поверхности тела, можно определить их проекции на ось абсцисс, которые используются в формулах (11) – (16). Проекции этих сил на ось абсцисс определяются по формулам (84) – (95):

F1 = N1 * cos(P / 8) * cos(P / 12)

F2 = N2 * cos(P / 8) * cos(3 * P / 12)

F3 = N3 * cos(P / 8) * cos(5 * P / 12)

F4 = N4 * cos(3 * P / 8) * cos(P / 12)

F5 = N5 * cos(3 * P / 8) * cos(3 * P / 12)

F6= N6 * cos(3 * P / 8) * cos(5 * P / 12)

F7 = N7 * cos(P / 8) * cos(P / 12)

F8 = N8 * cos(P / 8) * cos(3 * P / 12)

F9 = N9 * cos(P / 8) * cos(5 * P / 12)

F10 = N10 * cos(3 * P / 8) * cos(P / 12)

F11 = N11 * cos(3 * P / 8) * cos(3 * P / 12)

F12= N12 * cos(3 * P / 8) * cos(5 * P / 12)

Таким образом, мы определили силу, действующую по гипотезе Всеобщего взаимодействия на тело с большей массой. Поменяв местами центры тел, совершенно аналогичным образом можно получить формулы для определения силы, действующей на тело с меньшей массой.